已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*),等差数列{bn}中bn>0(n∈...
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已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*),等差数列{bn}中bn>0(n∈N*),且b1+b2+b3=15,又a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列.
(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{an•bn}的前n项和Tn.
【回答】
【考点】8E:数列的求和;81:数列的概念及简单表示法.
【分析】本题是数列中的一道综合题,(1)的求解要利用恒等式an+1=2Sn+1构造出an=2Sn﹣1+1两者作差得出an+1=3an,此处是的难点,数列的{bn}的求解根据题意列出方程求d,即可,
(II)中数列求和是一个典型的错位相减法求和技巧的运用.
【解答】解:(Ⅰ)∵a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*),
∴an=2Sn﹣1+1(n∈N*,n>1),
∴an+1﹣an=2(Sn﹣Sn﹣1),
∴an+1﹣an=2an,
∴an+1=3an(n∈N*,n>1)
而a2=2a1+1=3=3a1,
∴an+1=3an(n∈N*)
∴数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列,
∴an=3n﹣1(n∈N*)
∴a1=1,a2=3,a3=9,
在等差数列{bn}中,
∵b1+b2+b3=15,
∴b2=5.
又因a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列,设等差数列{bn}的公差为d,
∴(1+5﹣d)(9+5+d)=64
解得d=﹣10,或d=2,
∵bn>0(n∈N*),
∴舍去d=﹣10,取d=2,
∴b1=3,
∴bn=2n+1(n∈N*),
(Ⅱ)由(Ⅰ)知Tn=3×1+5×3+7×32++(2n﹣1)3n﹣2+(2n+1)3n﹣1①
3Tn=3×3+5×32+7×33++(2n﹣1)3n﹣1+(2n+1)3n②
①﹣②得﹣2Tn=3×1+2×3+2×32+2×33++2×3n﹣1﹣(2n+1)3n
=3+2(3+32+33++3n﹣1)﹣(2n+1)3n
=,
∴Tn=n•3n
知识点:数列
题型:解答题
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