已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an（n∈N*）．（1）写出S1，S2，S3，S4，并...

问题详情：

已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an（n∈N*）．

（1）写出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式；

（2）用数学归纳法*你的猜想，并求出an的表达式．

【回答】

【考点】RG：数学归纳法；F1：归纳推理．

【分析】（1）先根据数列的前n项的和求得S1，S2，S3，S4，可知分母和分子分别是等差数列进而可猜想出Sn．

（2）用数学归纳法*数列问题时分为两个步骤，第一步，先*当n=1时，结论显然成立，第二步，先假设当n=k+1时，有Sk=，利用此假设*当n=k+1时，结论也成立即可．

【解答】解：（1）：∵a1=1，Sn=n2an，∴S1=a1=1，

当n=2时，S2=a1+a2=4a2，解得a2=，S2=1+=，

当n=3时，S3=a1+a2+a3=9a3，解得a3=，S3=1++==，

当n=4时，S4=a1+a2+a3+a4=16a4，解得a4=，S4=，

∴Sn=

（2）下面用数学归纳法*

①当n=1时，结论显然成立．

②假设当n=k时结论成立，即Sk=，

则当n=k+1时，则Sk+1=（k+1）2ak+1=（k+1）2（Sk+1﹣Sk），

∴（k2+2k）Sk+1=（k+1）2Sk=（k+1）2，

∴Sk+1=

故当n=k+1时结论也成立．

由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有Sn=，

∵Sn=n2an，

∴an===

知识点：数列

题型：解答题