*推断:如图(1),在正方形ABCD中,点E,Q分别在边BC,AB上,DQ⊥AE于点O,点G,F分别在边CD...
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*推断:如图(1),在正方形ABCD中,点E,Q分别在边BC,AB上,DQ⊥AE于点O,点G,F分别在边CD,AB上,GF⊥AE.
①求*:DQ=AE;
②推断:的值为 ;
(2)类比探究:如图(2),在矩形ABCD中,=k(k为常数).将矩形ABCD沿GF折叠,使点A落在BC边上的点E处,得到四边形FEPG,EP交CD于点H,连接AE交GF于点O.试探究GF与AE之间的数量关系,并说明理由;
(3)拓展应用:在(2)的条件下,连接CP,当k=时,若tan∠CGP=,GF=2,求CP的长.
【回答】
(1)①*:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=DA,∠ABE=90°=∠DAQ.
∴∠QAO+∠OAD=90°.
∵AE⊥DH,
∴∠ADO+∠OAD=90°.
∴∠QAO=∠ADO.
∴△ABE≌△DAQ(ASA),
∴AE=DQ.
②解:结论:=1.
理由:∵DQ⊥AE,FG⊥AE,
∴DQ∥FG,
∵FQ∥DG,
∴四边形DQFG是平行四边形,
∴FG=DQ,
∵AE=DQ,
∴FG=AE,
∴=1.
故*为1.
(2)解:结论:=k.
理由:如图2中,作GM⊥AB于M.
∵AE⊥GF,
∴∠AOF=∠GMF=∠ABE=90°,
∴∠BAE+∠AFO=90°,∠AFO+∠FGM=90°,
∴∠BAE=∠FGM,
∴△ABE∽△GMF,
∴=,
∵∠AMG=∠D=∠DAM=90°,
∴四边形AMGD是矩形,
∴GM=AD,
∴===k.
(3)解:如图2﹣1中,作PM⊥BC交BC的延长线于M.
∵FB∥GC,FE∥GP,
∴∠CGP=∠BFE,
∴tan∠CGP=tan∠BFE==,
∴可以假设BE=3k,BF=4k,EF=AF=5k,
∵=,FG=2,
∴AE=3,
∴(3k)2+(9k)2=(3)2,
∴K=1或﹣1(舍弃),
∴BE=3,AB=9,
∵BC:AB=2:3,
∴BC=6,
∴BE=CE=3,AD=PE=BC=6,
∵∠BEF=∠FEP=∠PME=90°,
∴∠FEB+∠PEM=90°,∠PEM+∠EPM=90°,
∴∠FEB=∠EPM,
∴△FBE∽△EMP,
∴==,
∴==,
∴EM=,PM=,
∴CM=EM=EC=﹣3=,
∴PC==.
知识点:各地中考
题型:综合题
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