如图,已知抛物线,过点P(2,0)作斜率分别为的两条直线,与抛物线相交于点A、B和C、D,且M、N分别是AB、...
问题详情:
如图,已知抛物线,过点P(2,0)作斜率分别为的两条直线,与抛物线相交于点A、B和C、D,且M、N分别是AB、CD的中点.
(1)若,,求线段MN的长;
(2)若,求△PMN面积的最小值.
【回答】
解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设y1>0,则
设直线AB的方程为y=k1(x﹣2),代入y2=4x,可得y2﹣y﹣8=0 ∴y1+y2=,y1y2=﹣8,
∵,∴y1=﹣2y2,∴y1=4,y2=﹣2,
∴yM=1,∵k1+k2=0,
∴线段AB和CD关于x轴对称,∴线段MN的长为2;
(2)∵k1•k2=﹣1,∴两直线互相垂直,
设AB:x=my+2,则CD:x=﹣y+2,
x=my+2代入y2=4x,得y2﹣4my﹣8=0,则y1+y2=4m,y1y2=﹣8,
∴M(2m2+2,2m).同理N(+2,﹣),
∴|PM|=2|m|•,|PN|=•,|
∴S△PMN=|PM||PN|=(m2+1)=2(|m|+)≥4,
当且仅当m=±1时取等号,
∴△PMN面积的最小值为4.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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