已知抛物线的焦点为,过点且斜率为的直线与抛物线相交于,两点,直线与抛物线相切且,则直线的方程为
问题详情:
已知抛物线的焦点为,过点且斜率为的直线与抛物线相交于,两点,直线与抛物线相切且,则直线的方程为______;为上的动点,则的最小值是_______.
【回答】
【分析】
容易直接写出的方程;联立和抛物线的方程,求出,两点,由直线与抛物线相切,求出直线的方程,表示出的坐标,表示出即可求其最小值.
【详解】
解:依题意可知,抛物线的焦点坐标为,由于直线的斜率为,
故直线方程为,即,
由,解得,.
设直线的方程为,
由,化简得,
由于直线和抛物线相切,判别式,
解得,
故直线的方程为.
设直线上任意一点的坐标,
,,
代入得,
当时,取得最小值为
故*为:;.
【点睛】
以直线和抛物线的位置关系为载体,考查抛物线切线的求法以及向量数量积的最小值,基础题.
知识点:平面向量
题型:填空题
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