在四边形中ABCD，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，且EF⊥AB．（1）若四边形ABCD为正方...

问题详情：

在四边形中ABCD，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，且EF⊥AB．

（1）若四边形ABCD为正方形．

①如图1，请直接写出AE与DF的数量关系　DF=AE　；

②将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE，DF，猜想AE与DF的数量关系并说明理由；

（3）如图3，若四边形ABCD为矩形，BC=mAB，其它条件都不变，将△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，连接AE'，DF'，请在图3中画出草图，并直接写出AE'与DF'的数量关系．

【回答】

解：（1）①∵四边形ABCD为正方形，

∴△ABD为等腰直角三角形，

∴BF=AB，

∵EF⊥AB，

∴△BEF为等腰直角三角形，

BF=BE，

∴BD﹣BF=AB﹣BE，

即DF=AE；

故*为DF=AE；

②DF=AE．理由如下：

∵△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，

∴∠ABE=∠DBF，

∵=，=，

∴=，

∴△ABE∽△DBF，

∴==，

即DF=AE；

（2）如图3，∵四边形ABCD为矩形，

∴AD=BC=mAB，

∴BD==AB，

∵EF⊥AB，

∴EF∥AD，

∴△BEF∽△BAD，

∴=，

∴==，

∵△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，

∴∠ABE′=∠DBF′，BE′=BE，BF′=BF，

∴==，

∴△ABE′∽△DBF′，

∴==，

即DF′=AE′．

【点评】本题考查了相似形的综合题：熟练掌握旋转的*质、矩形和正方形的*质；灵活应用相似三角形的判定和*质，会利用相似比表示线段之间的关系．

知识点：各地中考

题型：综合题