如图，正四棱柱的底面边长为，侧棱长为1，求：（1）直线与直线所成角的余弦值；（2）平面与平面所成二面角的正弦值...

问题详情：

如图，正四棱柱的底面边长为，侧棱长为1，求：

（1）直线与直线所成角的余弦值；

（2）平面与平面所成二面角的正弦值．

【回答】

（1）（2）

【解析】

（1）以 {，，} 为正交基底建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出直线A1C与直线AD1所成角的余弦值；

（2）求出平面D1AC的一个法向量和平面ABB1A1的一个法向量，利用向量法能求出平面D1AC与平面ABB1A1所成二面角的正弦值．

【详解】

(1)如图，正四棱柱的底面边长为，侧棱长为1，

故以  为正交基底建立空间直角坐标系．

则，，，

， ．

（1）因为  ，

 ，

所以，

，，

从而．  

又异面直线所成的角的范围是，

所以直线与直线所成角的余弦值为．    

（2），，

设平面的一个法向量为，

则从而即

取，可得，，即．   

在正四棱柱中，平面，

又，

所以为平面的一个法向量．    

因为，且，，

所以．

因此平面与平面所成二面角的正弦值为．

【点睛】

本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题