如图,正三棱柱的所有棱长都为,为中点.建立如图的空间直角坐标系。(1)求*:平面;(2)求二面角的正弦值;(3...
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如图,正三棱柱的所有棱长都为,为中点.建立如图的空间直角坐标系。
(1)求*:平面;
(2)求二面角的正弦值;
(3)求点到平面的距离.
【回答】
解法一:(Ⅰ)取中点,连结.为正三角形,.
正三棱柱中,平面平面,平面.
连结,在正方形中,分别为的中点, ,.
在正方形中,,平面.
(Ⅱ)设与交于点,在平面中,作于,
连结,由(Ⅰ)得平面.
,为二面角的平面角.
在中,由等面积法可求得,
又,.
所以二面角的正弦值为.
(Ⅲ)中,,.
在正三棱柱中,到平面的距离为.
设点到平面的距离为.
由得,.
点到平面的距离为.
解法二:(Ⅰ)取中点,连结.
为正三角形,.
在正三棱柱中,平面平面,平面.
取中点,以为原点,,,的方向为轴的正方向建立
空间直角坐标系,则,,,,,
,,.
,,
,.
平面.
(Ⅱ)设平面的法向量为.
,.
,,
令得为平面的一个法向量.
由(Ⅰ)知平面,为平面的法向量.
,.所以二面角的正弦值为.
(Ⅲ)由(Ⅱ),为平面法向量,.
点到平面的距离
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题
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