平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1═（x＞0）的图象上，点A′与点A关于点O对称，一次函...

问题详情：

平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1═（x＞0）的图象上，点A′与点A关于点O对称，一次函数y2=mx+n的图象经过点A′．

（1）设a=2，点B（4，2）在函数y1、y2的图象上．

①分别求函数y1、y2的表达式；

②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的范围；

（2）如图①，设函数y1、y2的图象相交于点B，点B的横坐标为3a，△AA'B的面积为16，求k的值；

（3）设m=，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图象相交于点D，以AD为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上．

【回答】

【分析】（1）由已知代入点坐标即可；

（2）面积问题可以转化为△AOB面积，用a、k表示面积问题可解；

（3）设出点A、A′坐标，依次表示AD、AF及点P坐标．

【解答】解：（1）①由已知，点B（4，2）在y1═（x＞0）的图象上

∴k=8

∴y1=

∵a=2

∴点A坐标为（2，4），A′坐标为（﹣2，﹣4）

把B（4，2），A（﹣2，﹣4）代入y2=mx+n

解得

∴y2=x﹣2

②当y1＞y2＞0时，y1=图象在y2=x﹣2图象上方，且两函数图象在x轴上方

∴由图象得：2＜x＜4

（2）分别过点A、B作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连BO

∵O为AA′中点

S△AOB=S△AOA′=8

∵点A、B在双曲线上

∴S△AOC=S△BOD

∴S△AOB=S四边形ACDB=8

由已知点A、B坐标都表示为（a，）（3a，）

∴

解得k=6

（3）由已知A（a，），则A′为（﹣a，﹣）

把A′代入到y=

﹣

∴n=

∴A′B解析式为y=﹣

当x=a时，点D纵坐标为

∴AD=

∵AD=AF，

∴点F和点P横坐标为

∴点P纵坐标为

∴点P在y1═（x＞0）的图象上

【点评】本题综合考查反比例函数、一次函数图象及其*质，解答过程中，涉及到了面积转化方法、待定系数法和数形结合思想．

知识点：各地中考

题型：解答题