如图，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一点，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M为⊙O上一点，并且∠BMC=6...

问题详情：

如图，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一点，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M为⊙O上一点，并且∠BMC=60°．

（1）求*：AB是⊙O的切线；

（2）若E，F分别是边AB，AC上的两个动点，且∠EDF=120°，⊙O的半径为2，试问BE+CF的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

【回答】

【考点】切线的判定；等边三角形的*质．

【专题】压轴题．

【分析】（1）连结OB、OD、OC，如图1，由于D为BC的中点，根据垂径定理的推理得OD⊥BC，∠BOD=∠COD，再根据圆周角定理得∠BOD=∠M=60°，则∠OBD=30°，所以∠ABO=90°，于是根据切线的判定定理得AB是⊙O的切线；

（2）作DM⊥AB于H，DN⊥AC于N，连结AD，如图2，根据等边三角形三角形的*质得AD平分∠BAC，∠BAC=60°，则利用角平分线*质得DH=DN，根据四边形内角和得∠HDN=120°，由于∠EDF=120°，所以∠HDE=∠NDF，接着*△DHE≌△DNF得到HE=NF，于是BE+CF=BH+CN，再计算出BH=BD，CN=OC，则BE+CF=BC，于是可判断BE+CF的值是定值，为等边△ABC边长的一半，再计算BC的长即可．

【解答】（1）*：连结OB、OD、OC，如图1，

∵D为BC的中点，

∴OD⊥BC，∠BOD=∠COD，

∴∠ODB=90°，

∵∠BMC=∠BOC，

∴∠BOD=∠M=60°，

∴∠OBD=30°，

∵△ABC为正三角形，

∴∠ABC=60°

∴∠ABO=60°+30°=90°，

∴AB⊥OB，

∴AB是⊙O的切线；

（2）解：BE+CF的值是为定值．

作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，连结AD，如图2，

∵△ABC为正三角形，D为BC的中点，

∴AD平分∠BAC，∠BAC=60°，

∴DH=DN，∠HDN=120°，

∵∠EDF=120°，

∴∠HDE=∠NDF，

在△DHE和△DNF中，

，

∴△DHE≌△DNF，

∴HE=NF，

∴BE+CF=BH﹣EH+CN+NF=BH+CN，

在Rt△DHB中，∵∠DBH=60°，

∴BH=BD，

同理可得CN=OC，

∴BE+CF=OB+OC=BC，

∵BD=OB•cos30°=，

∴BC=2，

∴BE+CF的值是定值，为．

【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要*某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再*垂直即可．也考查了等边三角形的*质．

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：解答题