问题背景:如图,将绕点逆时针旋转60°得到,与交于点,可推出结论:问题解决:如图,在中,,,.点是内一点,则点...
问题详情:
问题背景:如图,将绕点逆时针旋转60°得到,与交于点,可推出结论:
问题解决:如图,在中,,,.点是内一点,则点到三个顶点的距离和的最小值是___________
【回答】
【分析】
如图,将△MOG绕点M逆时针旋转60°,得到△MPQ,易知△MOP为等边三角形,继而得到点O到三顶点的距离为:ON+OM+OG=ON+OP+PQ,由此可以发现当点N、O、P、Q在同一条直线上时,有ON+OM+OG最小,此时,∠NMQ=75°+60°=135°,过Q作QA⊥NM交NM的延长线于A,利用勾股定理进行求解即可得.
【详解】
如图,将△MOG绕点M逆时针旋转60°,得到△MPQ,
显然△MOP为等边三角形,
∴,OM+OG=OP+PQ,
∴点O到三顶点的距离为:ON+OM+OG=ON+OP+PQ,
∴当点N、O、P、Q在同一条直线上时,有ON+OM+OG最小,
此时,∠NMQ=75°+60°=135°,
过Q作QA⊥NM交NM的延长线于A,则∠MAQ=90°,
∴∠AMQ=180°-∠NMQ=45°,
∵MQ=MG=4,
∴AQ=AM=MQ•cos45°=4,
∴NQ=,
故*为.
【点睛】
本题考查了旋转的*质,最短路径问题,勾股定理,解直角三角形等知识,综合*较强,有一定的难度,正确添加辅助线是解题的关键.
知识点:图形的旋转
题型:填空题
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