⑴.如图1，是正方形边上的一点，连接，将绕着点逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与*线交于点和点.①.线段和...

问题详情：

⑴.如图1，是正方形边上的一点，连接，将绕着点逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与*线交于点和点.

①.线段和的数量关系是          ；

②.写出线段和之间的数量关系.

⑵.当四边形为菱形，，点是菱形边所在直线上的一点，连接，将绕着点逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与*线交于点和点.

①.如图2，点在线段上时，请探究线段和之间的数量关系，写出结论并给出*；

②.如图3，点在线段的延长线上时，交*线于点；若 ,直接写出线段的长度.  

【回答】

考点：旋转的特征，正方形以及菱形的*质，全等三角形的*质和判定，相似三角形的*质和判定，等腰三角形以及直角三角形的*质，勾股定理等.

分析：

本题的⑴问的①直接根据旋转特征可以得出*；本题的⑴问的②利用旋转的特征和全等三角形把转为等腰直角△的斜边,再利用勾股定理或者三角函数可以解决问题；本题的⑶问的①和⑴问的②的思路是一样的，利用旋转的特征和全等三角形把转为等腰△的底边，再作底边上的高线，再利用勾股定理或者三角函数解决问题；本题的⑵的②主要利用旋转的特征、全等三角形、相似三角形分别求出线段，再把它们加起来求出线段的长.

略解：

⑴.①.根据旋转的特征直接可以得出 . 故应填：;·· 2分

   ②.根据旋转的特征可知△≌△ ∴ ∴.

   容易*△是等腰直角三角形，利用勾股定理或三角函数可以求出 ,

   即  .······················ 4分

⑵.①.. ······················· 5分

理由如下：

∵四边形菱形  

∴

由旋转120°可得:

∴ 即

在△G中,

∴

∴

∴△≌△（ ）

∴ ∴ ················ 8分

如图所示：过点作点

∵∴

在△中

∴

设，则

∴

∴

∴.··························· 10分

②.的长度为 . ·························· 12分

理由：

根据旋转的特征容易*△≌△ ∴；同时利用菱形的*质和旋转的特征并结合条件中的“，将绕着点逆时针旋转120°”可以退推出  ∴;

由菱形可得出∥ ∴△∽△ ∴  ∴

∴.（根据题目要求答卷时可不写理由.）

点评：

  本题是由旋转建立起来的图形；利用旋转的特征得出全等三角形、等腰三角形含特殊角的直角三角形，以此为突破口，并在此基础探究线段之间的数量关系.本题虽然难度不大，但串联起了初中几何部分的多个重要知识点，是一道高质量的中考题.

知识点：各地中考

题型：综合题