如图，在等腰直角三角形中，．点是的中点，以为边作正方形，连接．将正方形绕点顺时针旋转，旋转角为．（1）如图，在...

问题详情：

如图，在等腰直角三角形中，．点是的中点，以为边作正方形，连接．将正方形绕点顺时针旋转，旋转角为．

（1）如图，在旋转过程中，

①判断与是否全等，并说明理由；

②当时，与交于点，求的长．

（2）如图，延长交直线于点．

①求*：；

②在旋转过程中，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

【回答】

（1）①全等，*见解析；②；（2）①*见解析；②．

【解析】

（1）①由等腰直角三角形*质和正方形*质根据全等三角形判定定理（SAS）即可*；②过A点作AM⊥GD，垂足为M，交FE与N，利用等腰三角形三线合一*质构造直角三角形，由勾股定理求出AM的长，进而得出，再由求出结果；

（2）①根据全等三角形*质可得，再在和中由三角形内角和定理得出，从而*结论；②根据∠APC=90°得出PC最大值是∠GAD最大时，即GD⊥AG时，进而可知CEF三点共线，F与P重合，求出此时CE长，继而可得CP最大值．

【详解】

解：（1）①全等，理由如下：

在等腰直角三角形中，AD=CD，，

在正方形中，GD=ED，，

又∵，，

∴

在和中，

 ，

∴（SAS）；

②如解图2，过A点作AM⊥GD，垂足为M，交FE与N，

∵点是的中点，

∴在正方形中，DE=GD=GF=EF=2，

由①得，

∴，

又∵，

∴，

∵AM⊥GD，

∴，

又∵ ，

∴四边形GMNF是矩形，

∴，

在中，，

∴

∵，

∴

∴，

∴．

（2）①由①得，

∴，

又∵，

∴，

∴，即：；

②∵，

∴，

∴当最大时，PC最大，

∵∠DAC=45°，是定值，

∴最大时，最大，PC最大，

∵AD=4，GD=2，

∴当GD⊥AG，最大，如解图3，

此时，

又∵，，

∴F点与P点重合，

∴CEFP四点共线，

∴CP=CE+EF=AG+EF=，

∴线段得最大值为：．

【点睛】

本题考查了三角形的综合；涉及了全等三角形的判定与*质，正方形的*质，勾股定理，解直角三角形等知识，能够准确画出旋转后满足条件的两个图形，构造直角三角形求解是关键．

知识点：解直角三角形与其应用

题型：综合题