如图1,直线AB与x轴、y轴分别相交于点A、B,将线段AB绕点A顺时针旋转90°,得到AC,连接BC,将△AB...
问题详情:
如图1,直线AB与x轴、y轴分别相交于点A、B,将线段AB绕点A顺时针旋转90°,得到AC,连接BC,将△ABC沿*线BA平移,当点C到达x轴时运动停止.设平移距离为m,平移后的图形在x轴下方部分的面积为S,S关于m的函数图象如图2所示(其中0<m≤a,a<m≤b时,函数的解析式不同).
(1)填空:△ABC的面积为 ;
(2)求直线AB的解析式;
(3)求S关于m的解析式,并写出m的取值范围.
【回答】
(1);(2)y=﹣x+1;(3)S=.
【分析】
(1)由图2结合平移即可得出结论;
(2)判断出△AOB≌△CEA,得出AE=OB,CE=OA,再由图2知,点C的纵坐标是点B纵坐标的2倍,即可利用三角形ABC的面积求出OB,OA,即可得出结论;
(3)分两种情况,利用三角形的面积公式或三角形的面积差即可得出结论.
【详解】
解:(1)结合△ABC的移动和图2知,点B移动到点A处,
就是图2中,m=a时,S=S△A'B'D=,点C移动到x轴上时,
即:m=b时,S=S△A'B'C'=S△ABC=.
故*为;
(2)如图2,过点C作CE⊥x轴于E,
∴∠AEC=∠BOA=90°.
∵∠BAC=90°,
∴∠OAB+∠CAE=90°,
∵∠OAB+∠OBA=90°,
∴∠OBA=∠CAE,
由旋转知,AB=AC,
∴△AOB≌△CEA,
∴AE=OB,CE=OA,
由图2知,点C的纵坐标是点B纵坐标的2倍,
∴OA=2OB,
∴AB2=5OB2,
由(1)知,S△ABC==AB2=×5OB2,
∴OB=1,
∴OA=2,
∴A(2,0),B(0,1),
∴直线AB的解析式为y=﹣x+1;
(3)由(2)知,AB2=5,
∴AB=,
①当0≤m≤时,如图3,
∵∠AOB=∠AA'F,∠OAB=∠A'AF,
∴△AOB∽△AA'F,
∴,
由运动知,AA'=m,∴,
∴A'F=m,
∴S=AA'×A'F=m2,
②当<m≤2时,如图4,
同①的方法得:A'F=m,
∴C'F=﹣m,
过点C作CE⊥x轴于E,过点B作BM⊥CE于E,
∴BM=3,CM=1,
易知,△ACE∽△FC'H,
∴,
∴,
∴C'H=.
在Rt△FHC'中,FH=C'H=,
由平移知,∠C'GF=∠CBM,
∵∠BMC=∠GHC',
∴△BMC∽△GHC',
∴,
∴,
∴GH=,
∴GF=GH﹣FH=,
∴S=S△A'B'C'﹣S△C'FG=﹣××=﹣(2﹣m)2,
即:S=.
【点睛】
此题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法,全等三角形的判定和*质,三角形的面积公式,平移的*质,相似三角形的判定和*质,构造相似三角形是解本题的关键.
知识点:二次函数单元测试
题型:解答题
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