如图，在▱ABCD中，DC＞AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是E，F，过点E，F分别作DC...

问题详情：

如图，在▱ABCD中，DC＞AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是E，F，过点E，F分别作DC与AB间的垂线MM'与NN'，在DC与AB上的垂足分别是M，N与M′，N′，连接EF．

（1）求*：四边形EFNM是矩形；

（2）已知：AE=4，DE=3，DC=9，求EF的长．

【回答】

解：（1）*：过点E、F分别作AD、BC的垂线，垂足分别是G、H．

∵∠3=∠4，∠1=∠2，EG⊥AD，EM⊥CD，EM′⊥AB

∴EG=ME，EG=EM′

∴EG=ME=ME′=MM′

同理可*：FH=NF=N′F=NN′

∵CD∥AB，MM′⊥CD，NN′⊥CD，

∴MM′=NN′

∴ME=NF=EG=FH

又∵MM′∥NN′，MM′⊥CD

∴四边形EFNM是矩形．

（2）∵DC∥AB，

∴∠CDA+∠DAB=180°，

∵，∠2=∠DAB

∴∠3+∠2=90°

在Rt△DEA，∵AE=4，DE=3，

∴AB==5．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠DAB=∠DCB，

又∵∠2=∠DAB，∠5=∠DCB，

∴∠2=∠5

由（1）知GE=NF

在Rt△GEA和Rt△CNF中

∴△GEA≌△CNF

∴AG=CN

在Rt△DME和Rt△DGE中

∵DE=DE，ME=EG

∴△DME≌△DGE

∴DG=DM

∴DM+CN=DG+AG=AB=5

∴MN=CD﹣DM﹣CN=9﹣5=4．

∵四边形EFNM是矩形．

∴EF=MN=4

知识点：各地中考

题型：解答题