已知函数,其中.(1)讨论函数的单调*;(2)设,若对于任意的,,有,求实数的取值范围.
问题详情:
已知函数,其中.
(1)讨论函数的单调*;
(2)设,若对于任意的,,有,求实数的取值范围.
【回答】
解:(1)函数的定义域为,
.
①若,则当时,,所以函数在区间上单调递减;当时,,所以函数在区间上单调递增.
②若,则当或时,,所以函数在区间,上均单调递增;当时,,所以函数在区间上单调递减.
③若,则当时,,所以函数在区间上单调递增.
④若,则当或时,,所以函数在区间,上均单调递增;当时,,所以函数在区间上单调递减.
综上所述,
当时,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增;
当时,函数在区间,上均单调递增,在区间上单调递减;
当时,函数在区间上单调递增;
当时,函数在区间,上均单调递增,在区间上单调递减.
(2)不妨设,
则可化为.
令,则函数在区间上单调递增.
所以在区间上恒成立.
即在区间上恒成立.(*)
因为,所以,
所以,要使(*)成立,只需,
解得.
故所求实数的取值范围为.
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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