如图，已知MN是⊙O的直径，直线PQ与⊙O相切于P点，NP平分∠MNQ．（1）求*：NQ⊥PQ；（2）若⊙O的...

问题详情：

如图，已知MN是⊙O的直径，直线PQ与⊙O相切于P点，NP平分∠MNQ．

（1）求*：NQ⊥PQ；

（2）若⊙O的半径R=2，NP=，求NQ的长．

【回答】

【考点】切线的*质．

【分析】（1）连结OP，根据切线的*质由直线PQ与⊙O相切得OP⊥PQ，再由OP=ON得到∠ONP=∠OPN，由NP平分∠MNQ得到∠ONP=∠QNP，利用等量代换得∠OPN=∠QNP，根据平行线的判定得OP∥NQ，所以NQ⊥PQ；

（2）连结PM，根据圆周角定理由MN是⊙O的直径得到∠MPN=90°，易*得Rt△NMP∽Rt△NPQ，然后利用相似比可计算出NQ的长．

【解答】（1）*：连结OP，如图，

∴直线PQ与⊙O相切，

∴OP⊥PQ，

∵OP=ON，

∴∠ONP=∠OPN，

∵NP平分∠MNQ，

∴∠ONP=∠QNP，

∴∠OPN=∠QNP，

∴OP∥NQ，

∴NQ⊥PQ；

（2）解：连结PM，如图，

∵MN是⊙O的直径，

∴∠MPN=90°，

∵NQ⊥PQ，

∴∠PQN=90°，

而∠MNP=∠QNP，

∴Rt△NMP∽Rt△NPQ，

∴=，即=，

∴NQ=3．

【点评】本题考查了切线的*质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与*质．

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：解答题