已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,在(﹣∞,﹣1),(2,+∞)上单调递增,在(﹣1,2)上单调递减,...
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已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,在(﹣∞,﹣1),(2,+∞)上单调递增,在(﹣1,2)上单调递减,当且仅当x>4时.f(x)>x2﹣4x+5=g(x).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数y=m与函数f(x),g(x)的图象共有3个交点,求实数m的取值范围.
【回答】
解答: 解:(1)因为函数在(﹣∞,﹣1),(2,+∞)上单调递增,在(﹣1,2)上单调递减,所以﹣1,2是函数的两个极值点,即﹣1,2是f'(x)=0的两个根,
因为f'(x)=3x2+2ax+b,所以由根与系数之间的关系得.
所以.
令,则H'(x)=3x2﹣5x﹣2=(3x+1)(x﹣2),
所以函数H(x)在(﹣∞,),(2,+∞)上为增函数,在()上为减函数,故,解得c=﹣11.
所以此时.
(2)因为,则,
故当﹣21<m<﹣时,直线y=m与函数f(x)的图象有3个交点,与g(x)的图象没有交点.
又g(x)=x2﹣4x+5=(x﹣2)2+1≥1,故当m>1时,直线y=m与g(x)的图象有2个交点,与f(x)的图象有1个交点,
又f(4)=g(4)=5,故当1<m<5或m>5时,直线y=m与函数f(x),g(x)的图象共有3个交点,
故实数m的取值范围.
知识点:函数的应用
题型:解答题
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