已知函数f(x)=x2+bx2+cx+1在区间(-∞,-2］上单调递增，在区间［-2,2］上单调递减，且b≥0...

问题详情：

已知函数f(x)=x2+bx2+cx+1在区间(-∞,-2］上单调递增，在区间［-2,2］上单调递减，且b≥0.

(1)求f(x)的表达式；

(2)设0<m≤2,若对任意的x′、x″∈［m-2,m］,不等式|f(x′)-f(x″)|≤16m恒成立，求实数m的最小值.

【回答】

解：（1）f(x)=x3+bx2+cx+1,f′(x)=3x2+2bx+c.

∵f(x)在区间（-∞，-2］上单调递增，在区间［-2，2］上单调递减，

∴方程f′(x)=3x2+2bx+c=0有两个不等实根xx2，且x1=-2,x2≥2,

∵x1+x2=,x1x2=,

∴x2=+2,∴+2≥2,

∴b≤0.∵已知b≥0,∴b=0,

∴x2=2,c=-12,∴f(x)=x3-12x+1.

(2)对任意的x′、x″∈［m-2,m］,不等式｜f(x′)-f(x″)｜≤16m恒成立，等价于在区间［m-2,m］上，［f(x)］max-［f(x)］min≤16m.

f(x)=x3-12x+1,f′(x)=3x2-12.

由f′(x)=3x2-12<0，解得-2<x<2.

∴f(x)的减区间为［-2，2］

∵0<m≤2,∴［m-2,m］［-2，2］.∴f(x)在区间［m-2,m］上单调递减，

在区间［m-2,m］上，［f(x)］max=f(m-2)=(m-2)3-12(m-2)+1,

［f(x)］min=f(m)=m3-12m+1,

［f(x)］max-［f(x)］min=［(m-2)3-12(m-2)+1］-(m3-12m+1)=-6m2+12m+16,

∵［f(x)］max-［f(x)］min≤16m，

∴-6m2+12m+16≤16m,3m2+2m-8≥0,

解得m≤-2,或m≥.

∵0<m≤2,∴mmin=.

知识点：导数及其应用

题型：解答题