已知圆C1:x2+y2=r2(r>0)与直线l0:y=相切,点A为圆C1上一动点,AN⊥x轴于点N,且动点M满...
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已知圆C1:x2+y2=r2(r>0)与直线l0:y=相切,点A为圆C1上一动点,AN⊥x轴于点N,且动点M满足,设动点M的轨迹为曲线C.
(1)求动点M的轨迹曲线C的方程;
(2)若直线l与曲线C相交于不同的两点P、Q且满足以PQ为直径的圆过坐标原点O,求线段PQ长度的取值范围.
【回答】
【考点】KP:圆锥曲线的范围问题;J3:轨迹方程;KL:直线与椭圆的位置关系.
【分析】(1)设动点M(x,y),A(x0,y0),由于AN⊥x轴于点N.推出N(x0,0).通过直线与圆相切,求出圆的方程,然后转化求解曲线C的方程.
(2)①假设直线l的斜率存在,设其方程为y=kx+m,设P(x1,y1),Q(x2,y2),联立直线与椭圆方程,结合韦达定理,通过,以及弦长公式,利用基本不等式求出范围.②若直线l的斜率不存在,设OP所在直线方程为y=x,类似①求解即可.
【解答】解:(I)设动点M(x,y),A(x0,y0),由于AN⊥x轴于点N.∴N(x0,0).
又圆与直线即相切,∴.
∴圆.
由题意,,得,
∴.
∴,
即∴
将代入x2+y2=9,得曲线C的方程为.
(II)(1)假设直线l的斜率存在,设其方程为y=kx+m,设P(x1,y1),Q(x2,y2),
联立,可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣8=0.
由求根公式得.(*)
∵以PQ为直径的圆过坐标原点O,∴.即.
∴x1x2+y1y2=0.即∴x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0.
化简可得,.
将(*)代入可得,即3m2﹣8k2﹣8=0.
即,又.
将代入,可得
=.
∴当且仅当,即时等号成立.又由,∴,
∴.
(2)若直线l的斜率不存在,因以PQ为直径的圆过坐标原点O,故可设OP所在直线方程为y=x,
联立解得,同理求得,
故.综上,得.
知识点:圆与方程
题型:解答题
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