已知:如图,BD为△ABC的角平分线,且BD=BC,E为BD延长线上的一点,BE=BA,过E作EF⊥AB,F为...
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已知:如图,BD为△ABC的角平分线,且BD=BC,E为BD延长线上的一点,BE=BA,过E作EF⊥AB,F为垂足.下列结论:①△ABD≌△EBC;②∠BCE+∠BCD=180°;③AD=AE=EC;④BA+BC=2BF.其中正确的是( )
A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.①②③④
【回答】
D【考点】全等三角形的判定与*质.
【分析】易*△ABD≌△EBC,可得∠BCE=∠BDA,AD=EC可得①②正确,再根据角平分线的*质可求得∠DAE=∠DCE,即③正确,根据③可求得④正确.
【解答】解:
①∵BD为△ABC的角平分线,∴∠ABD=∠CBD,
∴在△ABD和△EBC中,,
∴△ABD≌△EBC(SAS),…①正确;
②∵BD为△ABC的角平分线,BD=BC,BE=BA,
∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA,
∵△ABD≌△EBC,∴∠BCE=∠BDA,
∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°,…②正确;
③∵∠BCE=∠BDA,∠BCE=∠BCD+∠DCE,∠BDA=∠DAE+∠BEA,∠BCD=∠BEA,
∴∠DCE=∠DAE,
∴△ACE为等腰三角形,
∴AE=EC,
∵△ABD≌△EBC,
∴AD=EC,
∴AD=AE=EC.…③正确;
④过E作EG⊥BC于G点,
∵E是BD上的点,∴EF=EG,
∵在RT△BEG和RT△BEF中,,
∴RT△BEG≌RT△BEF(HL),
∴BG=BF,
∵在RT△CEG和RT△AFE中,,
∴RT△CEG≌RT△AFE(HL),
∴AF=CG,
∴BA+BC=BF+FA+BG﹣CG=BF+BG=2BF.…④正确.
故选D.
【点评】本题考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形的对应边、对应角相等的*质,本题中熟练求*三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等*质是解题的关键.
知识点:三角形全等的判定
题型:选择题
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