如图,在△ABC和△ACD中,∠B=∠D,tanB=,BC=5,CD=3,∠BCA=90°﹣∠BCD,则AD=...
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如图,在△ABC和△ACD中,∠B=∠D,tanB=,BC=5,CD=3,∠BCA=90°﹣∠BCD,则AD= .
【回答】
2 .
【解答】解:在BC上取一点F,使BF=CD=3,连接AF,
∴CF=BC﹣BF=5﹣3=2,
过F作FG⊥AB于G,
∵tanB==,
设FG=x,BG=2x,则BF=x,
∴x=3,
x=,
即FG=,
延长AC至E,连接BD,
∵∠BCA=90°﹣∠BCD,
∴2∠BCA+∠BCD=180°,
∵∠BCA+∠BCD+∠DCE=180°,
∴∠BCA=∠DCE,
∵∠ABC=∠ADC,
∴A、B、D、C四点共圆,
∴∠DCE=∠ABD,∠BCA=∠ADB,
∴∠ABD=∠ADB,
∴AB=AD,
在△ABF和△ADC中,
∵,
∴△ABF≌△ADC(SAS),
∴AF=AC,
过A作AH⊥BC于H,
∴FH=HC=FC=1,
由勾股定理得:AB2=BH2+AH2=42+AH2①,
S△ABF=AB•GF=BF•AH,
∴AB•=3AH,
∴AH=,
∴AH2=②,
把②代入①得:AB2=16+,
解得:AB=,
∵AB>0,
∴AD=AB=2,
故*为:2.
知识点:解直角三角形与其应用
题型:填空题
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