如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB＝90°，过点A，D作⊙O，使圆心O在...

问题详情：

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB＝90°，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．

（1）求*：直线BD与⊙O相切；

（2）若AD：AE＝4：5，BC＝6，求⊙O的直径．

【回答】

【解答】（1）*：连接OD、DE，

∵OA＝OD，

∴∠A＝∠ADO，

∵∠A+∠CDB＝90°，

∴∠ADO+∠CDB＝90°，

∴∠ODB＝180°﹣90°＝90°，

∴OD⊥BD，

∵OD是⊙O半径，

∴直线BD与⊙O相切；

（2）解：∵AE是⊙O直径，

∴∠ADE＝90°＝∠C，

∴BC∥DE，

∴△ADE∽△ACB，

∴＝

∵D为AC中点，

∴AD＝DC＝AC，

∴AE＝BE＝AB，

DE是△ACB的中位线，

∴AE＝AB，DE＝BC＝×6＝3，

设AD＝4a，AE＝5a，

在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE＝3a＝3，

解得：a＝1，

∴AE＝5a＝5，

答：⊙O的直径是5．

【点评】本题考查的知识点有圆周角定理、切线的判定、三角形的中位线定理，解（1）小题的关键是求出OD⊥BD，解（2）小题的关键是求出DE长，题目比较好，综合*比较强．

知识点：相似三角形

题型：综合题