在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠A<∠ABC,D是AC边上一点,且DA=DB,O是AB的中点,CE是△B...
问题详情:
在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠A<∠ABC,D是AC边上一点,且DA=DB,O是AB的中点,CE是△BCD的中线.
(1)如图a,连接OC,请直接写出∠OCE和∠OAC的数量关系: ;
(2)点M是*线EC上的一个动点,将*线OM绕点O逆时针旋转得*线ON,使∠MON=∠ADB,ON与*线CA交于点N.
①如图b,猜想并*线段OM和线段ON之间的数量关系;
②若∠BAC=30°,BC=m,当∠AON=15°时,请直接写出线段ME的长度(用含m的代数式表示).
【回答】
解:(1)结论:∠ECO=∠OAC.
理由:如图1中,连接OE.
∵∠BCD=90°,BE=ED,BO=OA,
∵CE=ED=EB=BD,CO=OA=OB,
∴∠OCA=∠A,
∵BE=ED,BO=OA,
∴OE∥AD,OE=AD,
∴CE=EO.
∴∠EOC=∠OCA=∠ECO,
∴∠ECO=∠OAC.
故*为:∠OCE=∠OAC.
(2)如图2中,
∵OC=OA,DA=DB,
∴∠A=∠OCA=∠ABD,
∴∠COA=∠ADB,
∵∠MON=∠ADB,
∴∠AOC=∠MON,
∴∠COM=∠AON,
∵∠ECO=∠OAC,
∴∠MCO=∠NAO,
∵OC=OA,
∴△COM≌△AON(ASA),
∴OM=ON.
②如图3﹣1中,当点N在CA的延长线上时,
∵∠CAB=30°=∠OAN+∠ANO,∠AON=15°,
∴∠AON=∠ANO=15°,
∴OA=AN=m,
∵△OCM≌△OAN,
∴CM=AN=m,
在Rt△BCD中,∵BC=m,∠CDB=60°,
∴BD=m,
∵BE=ED,
∴CE=BD=m,
∴EM=CM+CE=m+m.
如图3﹣2中,当点N在线段AC上时,作OH⊥AC于H.
∵∠AON=15°,∠CAB=30°,
∴∠ONH=15°+30°=45°,
∴OH=HN=m,
∵AH=m,
∴CM=AN=m﹣m,
∵EC=m,
∴EM=EC﹣CM=m﹣(m﹣m)=m﹣m,
综上所述,满足条件的EM的值为m+m或m﹣m.
知识点:中心对称
题型:解答题
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