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)如图,在平面直角坐标系中,矩形OCDE的三个顶点分别是C(3,0),D(3,4),E(0,4).点A在DE上,以A为顶点的抛物线过点C,且对称轴x=1交x轴于点B.连接EC,AC.点P,Q为动点,设运动时间为t秒.
(1)点A的坐标为 ;抛物线的解析式为 .
(2)如图1,若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动,同时,点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动,当一个点到达终点时,另一个点随之停止运动.当t为何值时,△PCQ为直角三角形?
(3)如图2,若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动,过点P作PF⊥AB,交AC于点F,过点F作FG⊥AD于点G,交抛物线于点Q,连接AQ,CQ.当t为何值时,△ACQ的面积最大?最大值是多少?
【回答】
(1)(1,4)
(2)∵C(3,0),E(0,4) ∴OC=3,OE=4
在Rt△COE中,根据勾股定理得
△PCQ为直角三角形,共有2种可能的情况:
①当∠QPC=90°时 ∵
∴ 解得
②当∠PQC=90°时 ∵
∴解得 综上所述,当或时,
△PCQ为直角三角形.
(3)设直线AC的解析式为,().
将C(3,0),E(0,4)代入得 解得
∴直线AC的解析式为
∵P(1,4-t)
∴F ∴Q ∴QF=
∴
∵
∴当时,△ACQ的面积最大,最大值是1.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题
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