如图13,正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,MD的中点.在五棱锥PABCDE中,F为棱PE的中...
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如图13,正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,MD的中点.在五棱锥P ABCDE中,F为棱PE的中点,平面ABF与棱PD,PC分别交于点G,H.
(1)求*:AB∥FG;
(2)若PA⊥底面ABCDE,且PA=AE,求直线BC与平面ABF所成角的大小,并求线段PH的长.
图13
【回答】
解:(1)*:在正方形AMDE中,因为B是AM的中点,所以AB∥DE.
又因为AB⊄平面PDE,
所以AB∥平面PDE.
因为AB⊂平面ABF,且平面ABF∩平面PDE=FG,
所以AB∥FG.
(2)因为PA⊥底面ABCDE,
所以PA⊥AB,PA⊥AE.
建立空间直角坐标系Axyz,如图所示,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),F(0,1,1),=(1,1,0).
设平面ABF的法向量为n=(x,y,z),则
即
令z=1,则y=-1.所以n=(0,-1,1).
设直线BC与平面ABF所成角为α,则
sin α=|cos〈n,〉|==.
因此直线BC与平面ABF所成角的大小为.
设点H的坐标为(u,v,w).
因为点H在棱PC上,所以可设=λ(0<λ<1).
即(u,v,w-2)=λ(2,1,-2),所以u=2λ,v=λ,w=2-2λ.
因为n是平面ABF的一个法向量,
所以n·=0,
即(0,-1,1)·(2λ,λ,2-2λ)=0,
解得λ=,所以点H的坐标为.
所以PH==2.
知识点:空间中的向量与立体几何
题型:解答题
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