．在平面直角坐标系xOy中，边长为6的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，直线y=mx+2与...

问题详情：

．在平面直角坐标系xOy中，边长为6的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，直线y=mx+2与OC，BC两边分别相交于点D，G，以DG为边作菱形DEFG，顶点E在OA边上．

（1）如图1，当CG=OD时，直接写出点D和点G的坐标，并求直线DG的函数表达式；

（2）如图2，连接BF，设CG=a，△FBG的面积为S．

①求S与a的函数关系式；

②判断S的值能否等于等于1？若能，求此时m的值，若不能，请说明理由；

（3）如图3，连接GE，当GD平分∠CGE时，m的值为　   　．

【回答】

【解答】（1）∵将x=0代入y=mx+2得；y=2，

∴点D的坐标为（0，2）．

∵CG=OD=2，

∴点G的坐标为（2，6）．

将点G（2，6）代入y=mx+2得：2m+2=6．

解得：m=2．

∴直线DG的函数表达式为y=2x+2．

（2）①如图1所示：过点F作FH⊥BC，垂足为H，延长FG交y轴与点N．

∵四边形DEFG为菱形，

∴GF=DE，GF∥DE．

∴∠GNC=∠EDO．

∴∠NGC=∠DEO．

∴∠HGF=∠DEO．

在Rt△GHF和Rt△EOD中，

，

∴Rt△GHF≌Rt△EOD．

∴FH=DO=2．

∴=×2×（6﹣a）=6﹣a．

∴S与a之间的函数关系式为：S=6﹣a．

②当s=1时，则6﹣a=1．

解得：a=5．

∴点G的坐标为（5，6）．

在△DCG中，由勾股定理可知；DG===．

∵四边形GDEF是菱形，

∴DE=DG=．

在Rt△DOE中，由勾股定理可知OE===＞6

∴OE＞OA．

∴点E不在OA上．

∴S≠1．

（3）如图2所示：连接DF交EG于点M，过点M作MN⊥y轴，垂足为N．

又∵四边形DEFG为菱形，

∴DM⊥GM，点M为DF的中点．

∵GD平分∠CGE，DM⊥GM，GC⊥OC，

∴MD=CD=4．

∵由（2）可知点F的坐标为4，点D的纵坐标为2，

∴点M的纵坐标为3．

∴ND=1．

在Rt△DNM中， MN==．

∴点M的坐标为（，3）．

设直线DM的解析式为y=kx+2．将（，3）代入得： k+2=3．

解得：k=．

∴设直线MG的解析式为y=x+b．将（，3）代入得：﹣15+b=3．

解得：b=18．

∴直线MG的解析式为y=﹣x+18．

将y=6代入得：．

解得：x=．

∴点G的坐标为（，6）．

将（，6）代入y=mx+2得： m+2=6．

解得：m=．

故*为：．

知识点：勾股定理

题型：综合题