如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的...

问题详情：

如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线y＝﹣（x﹣m）2+m+2的顶点．

（1）当m＝0时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数．

（2）当m＝3时，求该抛物线上的好点坐标．

（3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m的取值范围．

【回答】

【分析】（1）如图1中，当m＝0时，二次函数的表达式y＝﹣x2+2，画出函数图象，利用图象法解决问题即可．

（2）如图2中，当m＝3时，二次函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+5，如图2，结合图象即可解决问题．

（3）如图3中，∵抛物线的顶点P（m，m+2），推出抛物线的顶点P在直线y＝x+2上，由点P在正方形内部，则0＜m＜2，如图3中，E（2，1），F（2，2），观察图象可知，当点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点（点F除外），求出抛物线经过点E或点F时Dm的值，即可判断．

【解答】解：（1）如图1中，当m＝0时，二次函数的表达式y＝﹣x2+2，函数图象如图1所示．

∵当x＝0时，y＝2，当x＝1时，y＝1，

∴抛物线经过点（0，2）和（1，1），

观察图象可知：好点有：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），共5个．

（2）如图2中，当m＝3时，二次函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+5．如图2．

∵当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝4，当x＝4时，y＝4，

∴抛物线经过（1，1），（2，4），（4，4），

共线图象可知，抛物线上存在好点，坐标分别为（1，1），（2，4），（4，4）．

（3）如图3中，∵抛物线的顶点P（m，m+2），

∴抛物线的顶点P在直线y＝x+2上，

∵点P在正方形内部，则0＜m＜2，

如图3中，E（2，1），F（2，2），观察图象可知，当点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点（点F除外），

当抛物线经过点E时，﹣（2﹣m）2+m+2＝1，

解得m＝或（舍弃），

当抛物线经过点F时，﹣（2﹣m）2+m+2＝2，

解得m＝1或4（舍弃），

∴当≤m＜1时，顶点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点．

【点评】本题属于二次函数综合题，考查了正方形的*质，二次函数的*质，好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会正确画出图象，利用图象法解决问题，学会利用特殊点解决问题，属于中考压轴题．

知识点：各地中考

题型：解答题