如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=4,OC=2.点P从点...
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如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=4,OC=2.点P从点O出发,沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,当点P到达点A时停止运动,设点P运动的时间是t秒.将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D,点D随点P的运动而运动,连接DP、DA.
(1)请用含t的代数式表示出点D的坐标;
(2)求t为何值时,△DPA的面积最大,最大为多少?
(3)在点P从O向A运动的过程中,△DPA能否成为直角三角形?若能,求t的值.若不能,请说明理由;
(4)请直接写出随着点P的运动,点D运动路线的长.
【回答】
【解答】解:(1)∵点P从点O出发,沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,
∴OP=t,而OC=2,
∴P(t,0),
设CP的中点为F,过D点作DE⊥OA,垂足为E,
则F点的坐标为(,1),
∵F点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D,
∴∠CPD=90°,
∴∠DPE+∠OPC=90°,
又∵∠POC=90°,∠OCP+∠OPC=90°,
∴∠OCP=∠EPD,
∴△OCP∽△EPD,
∵PD:CP=1:2,
∴DE:PO=PE:CO=PD:CP=1:2,
∴DE=PO=,PE=CO=1,
∴D点坐标为(t+1,);
(2)∵D点坐标为(t+1,),OA=4,
∴S△DPA=AP×=(4﹣t)×=(4t﹣t2)=﹣(t﹣2)2+1,
∴当t=2时,S最大=1;
(3)能构成直角三角形.
①当∠PDA=90°时,PC∥AD,
由勾股定理得,PD2+AD2=AP2,PD2=DE2+PE2,AD2=DE2+AE2,
即()2+1+(4﹣t﹣1)2+()2=(4﹣t)2,
解得,t=2或t=﹣6(舍去).
∴t=2秒.
②当∠PAD=90°时,此时点D在AB上,
可知,△COP∽△PAD,
∴==,
∴2=,
PA=1,
即t+1=4,t=3秒.
综上,可知当t为2秒或3秒时,△DPA能成为直角三角形.
(4)当点P在原点O处时,即t=0,对应的D0点为(1,0),
当点D运动时,直线DD0的斜率k==,即无论点D如何运动,直线DD0的斜率为固定值,
即点D的运动轨迹时始终在直线DD0上;
∵kOB==,
∴点D的运动路线与OB平行,
当P运动到点A时,t=4,此时D4点坐标为(5,2),
即点D的运动轨迹为线段D0D4
∵点D4与点B、C共线,
∴BD4∥x轴
易得四边形OD0D4B为平行四边形,
∵根据点D的运动路线与OB平行且相等,OB=2,
∴点D运动路线的长为2.
知识点:相似三角形
题型:综合题
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