如图，在平面直角坐标系中，O为原点，▱ABCD的顶点A在x轴正半轴上，点B在第一象限，OA=4，OC=2，点P...

问题详情：

如图，在平面直角坐标系中，O为原点，▱ABCD的顶点A在x轴正半轴上，点B在第一象限，OA=4，OC=2，点P、点Q分别是边BC、边AB上的动点，△PQB沿PQ所在直线折叠，点B落在点B1处．

（1）若▱OABC是矩形．

①写出点B的坐标．

②如图1，若点B1落在OA上，且点B1的坐标为（3，0），求点Q的坐标．

（2）若OC⊥AC，如图2，过点B1作B1F∥x轴，与对角线AC、边OC分别交于点E、F．若B1F=3B1E，点B1的横坐标为m，求点B1的纵坐标（用含m的代数式表示），并直接写出点B1的所有可能的情况下，m的最大值和最小值．

【回答】

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）①根据OA=4，OC=2，可得点B的坐标；

②首先设AQ=x，由点B关于PQ的对称点为B1，可得B1Q=BQ=2﹣x，然后由在Rt△AB1Q中，由AQ2+AB12=B1Q2，得方程：x2+1=（2﹣x）2，解此方程解可求得*；

（2）根据平行四边形的*质，且分点在线段EF的延长线和线段上两种情况进行分析求解可求得*．

【解答】解：（1）∵OA=4，OC=2，

∴点B的坐标为（4，2）；

②设AQ=x，点B关于PQ的对称点为B1，则B1Q=BQ=2﹣x，

∵点B1落在OA上，点B1（3，0），

∴OB1=3，

∴AB1=4﹣3=1，

在Rt△AB1Q中，由AQ2+AB12=B1Q2，

得：x2+1=（2﹣x）2，

解得：x=；

∴点Q的坐标为：（4，）；

（2）∵四边形OABC为平行四边形，OA=4，OC=2，且OC⊥AC，

∴∠OAC=30°，

∴点C（1，），

∵B1F=3B1E，

∴点B1不与点E，F重合，也不在线段EF的延长线上，

①当点B1在线段FE的延长线上时，如图2，延长B1F与y轴交于点G，点B1的横坐标为m，B1F∥x轴，

∵B1F=3B1E，

∴B1G=m，

设OG=a，

则GF=a，OF=a，

∴CF=2﹣a，

∴EF=4﹣a，B1E=2﹣a，

∴B1G=B1E+EF+FG=（2﹣a）+（4﹣a）+a=m，

∴a=﹣m+，即B1的纵坐标为﹣m+，

m的取值范围是≤m≤1+；

②当点B1在线段EF（除点E，F）上时，如图3，延长B1F与y轴交于点G，点B1的横坐标为m，B1F∥x轴，

B1F=3B1E，

∴B1G=m，

设OG=a，

则GF=a，OF=a，

∴CF=2﹣a，

∴FE=4﹣，B1F=EF=3﹣a，

∴B1G=B1F+FG=（3﹣a）+a=m，

∴a=﹣m+，即点B1的纵坐标为﹣m+，

故m的取值范围是：≤m≤3．

∴m的最大值为：1+，最小值为：．

知识点：特殊的平行四边形

题型：解答题