如图,在平面直角坐标系中,长方形OABC的顶点A,C分别在x轴、y轴的正半轴上,点B的坐标为(8,4),将该长...

问题详情：

如图,在平面直角坐标系中,长方形OABC的顶点A,C分别在x轴、y轴的正半轴上,点B的坐标为(8,4),将该长方形沿OB翻折,点A的对应点为点D,OD与BC交于点E. (Ⅰ)*:EO=EB; (Ⅱ)求点E的坐标; (Ⅲ)点M是OB上任意一点,点N是OA上任意一点,是否存在点M、N,使得AM＋MN最小？若存在,求出其最小值;若不存在,请说明理由.

【回答】

解:(Ⅰ)∵将该长方形沿OB翻折,点A的对应点为点D,OD与BC交于点E. ∴∠DOB=∠AOB, ∵BC∥OA, ∴∠OBC=∠AOB, ∴∠OBC=∠DOB, ∴EO=EB; (Ⅱ)由(Ⅰ)有,EO=EB, ∵长方形OABC的顶点A,C分别在x轴、y轴的正半轴上,点B的坐标为(8,4), 设OE=x,则DE=8－x, 在Rt△BDE中,BD=4,根据勾股定理得,DB2＋DE2=BE2, ∴16＋(8－x)2=x2, ∴x=5, ∴BE=5, ∴CE=3, ∴E(3,4); (Ⅲ)如解图,过点D作OA的垂线交OB于M,交OA于N,此时的M,N是AM＋MN的最小值的位置,求出DN就是AM＋MN的最小值, 由(Ⅱ)有,DE=3,BE=5,BD=4, ∴根据面积有DE×BD=BE×DG, ∴DG==, 由题意有,GN=OC=4, ∴DN=DG＋GN=＋4=. 即:AM＋MN的最小值为.

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题