如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的边OC在x轴上，OA在y轴上．O为坐标原点，AB//OC，线段OA，...

问题详情：

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的边OC在x轴上，OA在y轴上．O为坐标原点，AB//OC，线段OA，AB的长分别是方程x2－9x+20=0的两个根（OA<AB）, tan∠OCB=．

（1）求点B，C的坐标；

（2）P为OA上一点，Q为OC上一点，OQ=5，将∆POQ翻折，使点O落在AB上的点处，双曲线的一个分支过点．求k的值；

（3）在（2）的条件下，M为坐标轴上一点，在平面内是否存在点N，使以，Q，M，N为顶点四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【回答】

（1）点B的坐标为（5，4），点C的坐标为（8，0）；（2）k=8 ；（3）存在．，，，．

【解析】

（1）解一元二次方程得到OA=4， AB=5，过点B作BD⊥OC于点D，求出OD、OC的长即可求解；

（2）根据翻折的*质即可求解；

（3）分类讨论，以，Q为边时和以，Q为对角线时，在前两问的基础上先确定点M的坐标，进而确定点N的坐标．

【详解】

（1）解方程：x2-9x+20=0，得x1=4， x2=5，

∵OA<AB，

∴OA=4， AB=5，

过点B作BD⊥OC于点D，

∵tan∠OCB=，BD=OA=4，OD=AB=5，

∴CD=3，

∴OC=8，

 ∴点B的坐标为（5，4），点C的坐标为（8，0）；

（2）∵AB//OC， OQ=AB=5，∠AOQ=90º，

∴四边形AOQB为矩形，

∴BQ=OA=4，由翻折，得OQ==5，

∴=3，

∴A=2，

∴(2, 4)，

∴；

（3）存在．

①以，Q为边时，点M的坐标为或或，当点M的坐标为时，点N的坐标为；当点M的坐标为时，点N的坐标为；当点M的坐标为时，点N的坐标为；

②以，Q为对角线时，点M的坐标为，此时点N的坐标为，

综上所述，点N的坐标为：，，，．

【点睛】

本题考查的是矩形的判定、解一元二次方程、求反比例函数的解析式等内容，熟练掌握矩形的判定与*质是解题的关键．

知识点：特殊的平行四边形

题型：解答题