如图,在矩形ABCO中,AO=3,tan∠ACB=,以O为坐标原点,OC为轴,OA为轴建立平面直角坐标系.设D...
问题详情:
如图,在矩形ABCO中,AO=3,tan∠ACB=,以O为坐标原点,OC为轴,OA为轴建立平面直角坐标系.设D,E分别是线段AC,OC上的动点,它们同时出发,点D以每秒3个单位的速度从点A向点C运动,点E以每秒1个单位的速度从点C向点O运动,设运动时间为秒.
(1)求直线AC的解析式;
(2)用含的代数式表示点D的坐标;
(3)当为何值时,△ODE为直角三角形?
(4)在什么条件下,以Rt△ODE的三个顶点能确定一条对称轴平行于轴的抛物线?并请选择一种情况,求出所确定抛物线的解析式.
【回答】
(1);(2)D(,);(3),,,;(4)
【解析】
(1)在Rt△AOC中,已知AO的长以及∠ACB的正弦值,能求出OC的长,即可确定点C的坐标,利用待定系数法能求出直线AC的解析式.
(2)过D作AO、OC的垂线,通过构建相似三角形来求出点D的坐标.
(3)用t表示出OD、DE、OE的长,若△ODE为直角三角形,那么三边符合勾股定理,据此列方程求出对应的t的值.
(4)根据(3)的结论能得到t的值,△ODE中,当OD⊥x轴或DE垂直x轴时,都不能确定“一条对称轴平行于y轴的抛物线”,余下的情况都是符合要求的,首先得D、E的坐标,再利用待定系数法求出抛物线的解析式.
【详解】
(1)根据题意,得CO=AB=BC•tan∠ACB=4,则A(0,3)、B(4,3)、C(4,0);
设直线AC的解析式为:y=kx+3,代入C点坐标,得:
4k+3=0,k=-,
∴直线AC:;
(2)分别作DF⊥AO,DH⊥CO,垂足分别为F,H,
则有△ADF∽△DCH∽△ACO,
∴AD:DC:AC=AF:DH:AO=FD:HC:OC,
而AD=(其中0≤≤),OC=AB=4,AC=5,∴FD=AD=,AF=AD=,
DH=,HC=,
∴D(,);
(3)CE=,E(,0),OE=OC-CE=4-,HE=|CH-CE|=,
则OD2=DH2+OH2==,
DE2=DH2+HE2==,
当△ODE为Rt△时,有OD2+DE2=OE2,或OD2+OE2=DE2,或DE2+OE2=OD2,
即①,
或②,
或③,
上述三个方程在0≤≤内的所有实数解为
,,,;
(4)当DO⊥OE,及DE⊥OE时,即和时,以Rt△ODE的三个顶点不确定对称轴平行于轴的抛物线,其它两种情况都可以各确定一条对称轴平行于轴的抛物线D(,),E(4-,0),
当时,D(,),E(3,0),因为抛物线过O(0,0),
所以设所求抛物线为,将点D,E坐标代入,求得,,
∴所求抛物线为.
(当时,所求抛物线为).
【点睛】
本题考查的是代数几何综合应用,涉及了待定系数法、相似三角形的*质、勾股定理、二次函数等知识,综合*较强,,有一定的难度,熟练掌握相关知识并运用分类讨论思想进行解题的关键.
知识点:二次函数的图象和*质
题型:解答题
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