（2019·浙*中考模拟）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E、F分别在BC与CD上，且∠EAF＝45°...

问题详情：

（2019·浙*中考模拟）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E、F分别在BC与CD上，且∠EAF＝45°.如图*，若EA＝EF，则EF＝_____；如图乙，若CE＝CF，则EF＝_____．

【回答】

    ．   

【解析】

解：（1）如图*所示：

∵EA＝EF，

∴△AEF是等腰直角三角形，∠EAF＝∠EFA，

∵∠EAF＝45°，

∴∠EFA＝45°，

又∵在△AEF中，∠EAF+∠EFA+∠AEF＝180°，

∴∠AEF＝180°﹣45°﹣45°＝90°，

又∵∠AEB+∠AEF+∠FEC＝180°，

∴∠AEB+∠FEC＝90°，

又∵△ABE中，∠B+∠BAE+∠AEB＝180°，

∠B＝90°，

∴∠BAE+∠AEB＝90°，

∴∠BAE＝∠CEF，

在△ABE和△ECF中

，

∴△ABE≌△ECF（AAS）

∴AB＝EC，BE＝CF，

又∵AB＝3，BC＝4，

∴EC＝3，CF＝1，

在Rt△CEF中，由勾股定理得：

故*为．

（2）如图乙所示：

作DM＝DF，BN＝BE，分别交AD，AB于点M和点N，设MD＝x，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠D＝90°，

∴∠BNE＝45°，∠DMF＝90°，

又∵∠BNE+∠ENA＝180°，∠FMD+∠FMA＝180°，

∴∠ENA＝135°，∠FMA＝135°，

又∵∠EAF＝45°，∠BAD＝∠BAE+∠EAF+∠FAD＝90°，

∴∠BAE+∠FAD＝45°，

∵∠BAE+∠NEA＝45°，

在△ANE和△FMA中

，

∴△ANE∽△FMA

∴；

又∵MD＝x，∴DF＝x，

∵CE＝CF，AB＝3，BC＝4，

∴FC＝EC＝3﹣x，BE=BC-CE=4-(3-x)=x+1，AN＝2﹣x，

∴，

解得：x=2﹣4或x=﹣2﹣4（舍去），

∴FC＝3﹣（2﹣4）＝7﹣2，

∴EF＝FC＝（7﹣2）＝7﹣4．

故*为7﹣4．

【点睛】

本题考查了矩形的*质、全等三角形的判定与*质，相似三角形的判定与*质以及勾股定理的运用等相关知识，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键.

知识点：特殊的平行四边形

题型：填空题