(2019·湖北中考模拟)如图,正方形ABCD中,点E、F分别在线BC、CD上运动,且满足∠EAF=45°,A...
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(2019·湖北中考模拟)如图,正方形ABCD中,点E、F分别在线BC、CD上运动,且满足∠EAF=45°,AE、AF分别与BD相交于点M、N.下列说法中:①BE+DF=EF;②点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长;③若tan∠BAE=,则tan∠DAF=;④若BE=2,DF=3,则S△AEF=18.其中结论正确的是__(将正确的序号写在横线上)
【回答】
①②③.
【解析】
解:如图,把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH,
由旋转的*质得,BH=DF,AH=AF,∠BAH=∠DAF,
∵∠EAF=45°,
∴∠EAH=∠BAH+∠BAE=∠DAF+∠BAE=90°﹣∠EAF=45°,
∴∠EAH=∠EAF=45°,
在△AEF和△AEH中 ,
∴△AEF≌△AEH(SAS),
∴EH=EF,
∴∠AEB=∠AEF,
∴BE+BH=BE+DF=EF,
故①正确;
过A作AG⊥EF于G,
∴∠AGE=∠ABE=90°,
在△ABE与△AGE中 ,
∴△ABE≌△AGE(AAS),
∴AB=AG,
∴点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长;故②正确;
∵tan∠BAE= ,
∴设BE=m,AB=2m,
∴CE=m,
设DF=x,则CF=2m﹣x,EF=BE+DF=m+x,
∵CF2+CE2=EF2,
∴(2m﹣x)2+m2=(m+x)2,
∴x=m,
∴;故③正确;
∵BE=2,DF=3,
∴EF=BE+DF=5,
设BC=CD=n,
∴CE=n﹣2,CF=n﹣3,
∴EF2=CE2+CF2,
∴25=(n﹣2)2+(n﹣3)2,
∴n=6(负值舍去),
∴AG=6,
∴.故④错误,
故*为①②③.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和*质,正方形的*质,三角形的面积,熟练全等三角形的判定定理是解决此类题的关键.
知识点:解直角三角形与其应用
题型:综合题
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