如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE交AE延长线于D，DM...

问题详情：

如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE交AE延长线于D，DM⊥AC交AC的延长线于M，连接CD，以下四个结论：①∠ADC＝45°；②BD＝AE；③AC＋CE＝AB；④AC＋AB＝2AM.其中正确的结论有（   ）

A．1个  B．2个  C．3个  D．4个

【回答】

D　解析：过E作EQ⊥AB于Q.∵∠ACB＝90°，AE平分∠CAB，∴CE＝EQ.∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CBA＝∠CAB＝45°.∵EQ⊥AB，∴∠EQA＝∠EQB＝90°.由勾股定理得AC＝AQ，∴∠QEB＝45°＝∠CBA，∴EQ＝BQ，∴AB＝AQ＋BQ＝AC＋CE，∴①正确；作∠ACN＝∠BCD，交AD于N.∵∠CAD＝∠CAB＝22.5°＝∠BAD，∴∠DBA＝90°－22.5°＝67.5°，∴∠DBC＝67.5°－45°＝22.5°，∴∠DBC＝∠CAD.在△ACN和△BCD中，∴△ACN≌△BCD(ASA)，CN＝CD.∵∠ACN＋∠NCE＝90°，∴∠NCB＋∠BCD＝90°，∴∠CND＝∠CDN＝45°，∴∠ACN＝45°－22.5°＝22.5°＝∠CAN，∴AN＝CN，∴∠NCE＝∠AEC＝67.5°，∴CN＝NE，∴CD＝AN＝EN＝AE，∴②正确，③正确；过D作DH⊥AB于H，∵∠MCD＝∠CAD＋∠CDA＝67.5°，∠DBA＝90°－∠DAB＝67.5°，∴∠MCD＝∠DBA.∵AE平分∠CAB，DM⊥AC，DH⊥AB，∴DM＝DH.在△DCM和△DBH中，

∴△DCM≌△DBH(AAS)，∴BH＝CM.由勾股定理得AM＝AH，∴AC＋AB＝AC＋AH＋BH＝AC＋AM＋CM＝2AM，∴④正确．故选D.

知识点：三角形全等的判定

题型：选择题