在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C1:2x2﹣y2=1.(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线,求...
问题详情:
在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C1:2x2﹣y2=1.
(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积;
(2)过点Q作直线l与双曲线C1有且只有一个交点,求直线l的方程;
(3)设椭圆C2:4x2+y2=1.若M、N分别是C1、C2上的动点,且OM⊥ON,求*:O到直线MN的距离是定值.
【回答】
考点: 直线与圆锥曲线的综合问题.
专题: 综合题;圆锥曲线的定义、*质与方程.
分析: (1)求出双曲线的渐近线方程,求出直线与另一条渐近线的交点,然后求出三角形的面积.
(2)过点Q作直线l与双曲线C1有且只有一个交点,直线l与双曲线的渐近线平行,可得结论;
(3)当直线ON垂直x轴时,直接求出O到直线MN的距离为.当直线ON不垂直x轴时,设直线ON的方程为:y=kx,(显然|k|>),推出直线OM的方程为y=x,利用,求|ON|2=.同理|OM|2=,设O到直线MN的距离为d,通过(|OM|2+|ON|2)d2=|OM|2|ON|2,求出d=.推出O到直线MN的距离是定值.
解答: 解:(1)双曲线C1:2x2﹣y2=1左顶点A(﹣,0),
渐近线方程为:y=±x.
过A与渐近线y=x平行的直线方程为y=(x+),即y=x+1,
所以,解得.
所以所求三角形的面积为S=|OA||y|=;
(2)由题意,直线的斜率存在,
∵过点Q作直线l与双曲线C1有且只有一个交点,
∴直线l与双曲线的渐近线平行,
∵渐近线的斜率为±,
∴直线l的方程为y﹣=(x+),即y=x+2+或y=﹣x﹣2+;
(3)当直线ON垂直x轴时,|ON|=1,|OM|=,则O到直线MN的距离为.
当直线ON不垂直x轴时,设直线ON的方程为:y=kx,(显然|k|>),
则直线OM的方程为y=x,由得,
所以|ON|2=.
同理|OM|2=,
设O到直线MN的距离为d,
因为(|OM|2+|ON|2)d2=|OM|2|ON|2,
所以=+=3,
即d=.
综上,O到直线MN的距离是定值.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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