在极坐标系中,曲线C:ρ=2acosθ(a>0),l:ρcos(θ﹣)=,C与l有且仅有一个公共点.(Ⅰ)求a...
问题详情:
在极坐标系中,曲线C:ρ=2acosθ(a>0),l:ρcos(θ﹣)=,C与l有且仅有一个公共点.
(Ⅰ)求a;
(Ⅱ)O为极点,A,B为C上的两点,且∠AOB=,求|OA|+|OB|的最大值.
【回答】
【考点】简单曲线的极坐标方程.
【分析】(I)把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程,利用直线与圆相切的*质即可得出a;
(II)不妨设A的极角为θ,B的极角为θ+,则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos(θ+)=2cos(θ+),利用三角函数的单调*即可得出.
【解答】解:(Ⅰ)曲线C:ρ=2acosθ(a>0),变形ρ2=2ρacosθ,化为x2+y2=2ax,即(x﹣a)2+y2=a2.
∴曲线C是以(a,0)为圆心,以a为半径的圆;
由l:ρcos(θ﹣)=,展开为,
∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0.
由直线l与圆C相切可得=a,解得a=1.
(Ⅱ)不妨设A的极角为θ,B的极角为θ+,
则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos(θ+)
=3cosθ﹣sinθ=2cos(θ+),
当θ=﹣时,|OA|+|OB|取得最大值2.
知识点:坐标系与参数方程
题型:解答题
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