如图,椭圆:与圆:相切,并且椭圆上动点与圆上动点间距离最大值为.(1)求椭圆的方程;(2)过点作两条互相垂直的...
问题详情:
如图,椭圆:与圆:相切,并且椭圆上动点与圆上动点间距离最大值为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作两条互相垂直的直线,,与交于两点,与圆的另一交点为,求面积的最大值,并求取得最大值时直线的方程.
【回答】
【详解】(1)椭圆E与圆O:x2+y2=1相切,知b2=1;
又椭圆E上动点与圆O上动点间距离最大值为,即椭圆中心O到椭圆最远距离为,
得椭圆长半轴长,即;
所以椭圆E的方程:
(2)①当l1与x轴重合时,l2与圆相切,不合题意.
②当l1⊥x轴时,M(﹣1,0),l1:x=1,,此时.…(6分)
③当l1的斜率存在且不为0时,设l1:x=my+1,m≠0,则,
设A(x1,y1),B(x2,y2),由得,(2m2+3)y2+4my﹣1=0,
所以,
所以.
由得,,解得,
所以,
所以
, 因为,
所以,
当且仅当时取等号.所以()
综上,△ABM面积的最大值为,此时直线l1的方程为.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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