已知椭圆的离心率为,过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1.(1)求椭圆的方程;(2)设点为椭圆上位于第一象限内一...
问题详情:
已知椭圆的离心率为,过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点为椭圆上位于第一象限内一动点,分别为椭圆的左顶点和下顶点,直线与轴交于点,直线与轴交于点,求*:四边形的面积为定值.
【回答】
(Ⅰ);(2)见解析.
【分析】
(1)根据题目所给的条件得到解出参数值即可;(2)分别设出直线AM和BM求出点B,D的坐标,并表示出AC,BD的长度,代入面积公式化简即可.
【详解】
(Ⅰ)由已知可得:解得:;
所以椭圆C的方程为:.
(Ⅱ)因为椭圆C的方程为:,所以,.
设,则,即.
则直线BM的方程为:,令,得;
同理:直线AM的方程为:,令,得.
所以
.
即四边形ABCD的面积为定值2.
【点睛】
圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点,一般难度较大,计算较复杂,考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法:(1)从特殊入手,求出定值,再*这个定值与变量无关;(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.解题时,要将问题合理的进行转化,转化成易于计算的方向.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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