如图，∠MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC...

问题详情：

如图，∠MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角形时，AB的长为_____．

【回答】

或4

【解析】

分析：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：

①当∠A'EF=90°时，如图1，根据对称的*质和平行线可得：A'C=A'E=4，根据直角三角形斜边中线的*质得：BC=2A'B=8，最后利用勾股定理可得AB的长；

②当∠A'FE=90°时，如图2，*△ABC是等腰直角三角形，可得AB=AC=4．

详解：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：

①当∠A'EF=90°时，如图1，

.

∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，

∴A'C=AC=4，∠ACB=∠A'CB，

∵点D，E分别为AC，BC的中点，

∴D、E是△ABC的中位线，

∴DE∥AB，

∴∠CDE=∠MAN=90°，

∴∠CDE=∠A'EF，

∴AC∥A'E，

∴∠ACB=∠A'EC，

∴∠A'CB=∠A'EC，

∴A'C=A'E=4，

Rt△A'CB中，∵E是斜边BC的中点，

∴BC=2A'E=8，

由勾股定理得：AB2=BC2-AC2，

∴AB=；

②当∠A'FE=90°时，如图2，

.

∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°，

∴∠ABF=90°，

∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，

∴∠ABC=∠CBA'=45°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=AC=4；.

综上所述，AB的长为4或4；

故*为4或4.

点睛：本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的*质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的*质，并利用分类讨论的思想解决问题．

知识点：平行四边形

题型：填空题