已知函数,其中a为常数.(1)若f(x)的图象在x=1处的切线经过点(3,4),求实数a的值;(2)若0<...
问题详情:
已知函数,其中a为常数.
(1)若f(x)的图象在x=1处的切线经过点(3,4),求实数a的值;
(2)若0<a<1,求*:;
(3)当函数存在三个不同的零点时,求实数a的取值范围
【回答】
(1) ;(2)详见解析;(3) .
【详解】
试题分析:(1)根据导数的几何意义可得:,再结合斜率公式进而得出的值;(2)表示出,然后构造函数通过讨论函数的单调**;(3)将函数零点的问题转化为函数图像与轴交点个数的问题,通过导数讨论函数的单调*来解决.
试题解析:由题知
(Ⅰ)
(Ⅱ),令,
则
∴时,单调递减,
故时,,
∴当时,
(Ⅲ)
①
∴至多只有一个零点,不合题意;
②
∴至多只有一个零点,不合题意;
③
此时,在上递减,上递增,上递减,所以,至多有三个零点.因为在递增,所以,又因为,所以,使得,又,所以恰有三个不同零点:,所以函数存在三个不同的零点时,的取值范围是.
考点:函数与导数综合应用.
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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