如图所示,已知在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥x轴于点C.A(1,1)、B(3,1).动点P从O点出发...
问题详情:
如图所示,已知在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥x轴于点C.A(1,1)、B(3,1).动点P从O点出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动.过P点作PQ垂直于直线OA,垂足为Q,设P点移动的时间为t秒(0<t<4),△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S.
(1)求经过O、A、B三点的抛物线解析式;
(2)求S与t的函数关系式;
(3)将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°,是否存t,使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上?若存在,直接写出t的值;若不存在,请说明理由.
【回答】
【解答】解:(1)解法一:由图象可知:抛物线经过原点,
设抛物线解析式为y=ax2+bx(a≠0).
把A(1,1),B(3,1)代入上式得,
解得,
∴所求抛物线解析式为y=﹣x2+x;
解法二:∵A(1,1),B(3,1),∴抛物线的对称轴是直线x=2.
设抛物线解析式为y=a(x﹣2)2+h(a≠0),
把O(0,0),A(1,1)代入得
解得∴所求抛物线解析式为:y=﹣(x﹣2)2+.
(2)分三种情况:
①当0<t≤2,重叠部分的面积是S△OPQ,过点A作AF⊥x轴于点F,
∵A(1,1),在Rt△OAF中,AF=OF=1,∠AOF=45°,
在Rt△OPQ中,OP=t,∠OPQ=∠QOP=45°,
∴PQ=OQ=tcos45°=t,
∴S=(t)2=t2.
②当2<t≤3,设PQ交AB于点G,
作GH⊥x轴于点H,∠OPQ=∠QOP=45°,则四边形OAGP是等腰梯形,
重叠部分的面积是S梯形OAGP.
∴AG=FH=t﹣2,
∴S=(AG+OP)AF=(t+t﹣2)×1=t﹣1.
③当3<t<4,设PQ与AB交于点M,交BC于点N,
重叠部分的面积是S五边形OAMNC.
因为△PNC和△BMN都是等腰直角三角形,
所以重叠部分的面积是S五边形OAMNC=S梯形OABC﹣S△BMN.
∵B(3,1),OP=t,
∴PC=CN=t﹣3,
∴BM=BN=1﹣(t﹣3)=4﹣t,
∴S=(2+3)×1﹣(4﹣t)2 S=﹣t2+4t﹣;
(3)存在t1=1,t2=2.
将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°,此时Q(t+,),O(t,t)
①当点Q在抛物线上时, =×(t+)2+×(t+),解得t=2;
②当点O在抛物线上时,t=﹣t2+t,解得t=1.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题
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