矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B（2，2），点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一...

问题详情：

矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B（2，2），点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作PD⊥PC，交x轴于点D．下列结论：

①OA＝BC＝2；

②当点D运动到OA的中点处时，PC2+PD2＝7；

③在运动过程中，∠CDP是一个定值；

④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（，0）．

其中正确结论的个数是（　　）

A．1个             B．2个              C．3个             D．4个

【回答】

D【分析】①根据矩形的*质即可得到OA＝BC＝2；故①正确；

②由点D为OA的中点，得到OD＝OA＝，根据勾股定理即可得到PC2+PD2＝CD2＝OC2+OD2＝22+（）2＝7，故②正确；

③如图，过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E，PE＝a，则PF＝EF﹣PE＝2﹣a，根据三角函数的定义得到BE＝PE＝a，求得CE＝BC﹣BE＝2﹣a＝（2﹣a），根据相似三角形的*质得到FD＝，根据三角函数的定义得到∠PDC＝60°，故③正确；

④当△ODP为等腰三角形时，Ⅰ、OD＝PD，解直角三角形得到OD＝OC＝，Ⅱ、OP＝OD，根据等腰三角形的*质和四边形的内角和得到∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去；Ⅲ、OP＝PD，根据等腰三角形的*质和四边形的内角和得到∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去；于是得到当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（，0）．故④正确．

【解答】解：①∵四边形OABC是矩形，B（2，2），

∴OA＝BC＝2；故①正确；

②∵点D为OA的中点，

∴OD＝OA＝，

∴PC2+PD2＝CD2＝OC2+OD2＝22+（）2＝7，故②正确；

③如图，过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E，

∴PE⊥BC，四边形OFEC是矩形，

∴EF＝OC＝2，

设PE＝a，则PF＝EF﹣PE＝2﹣a，

在Rt△BEP中，tan∠CBO＝＝＝，

∴BE＝PE＝a，

∴CE＝BC﹣BE＝2﹣a＝（2﹣a），

∵PD⊥PC，

∴∠CPE+∠FPD＝90°，

∵∠CPE+∠PCE＝90°，

∴∠FPD＝∠ECP，

∵∠CEP＝∠PFD＝90°，

∴△CEP∽△PFD，

∴＝，

∴＝，

∴FD＝，

∴tan∠PDC＝＝＝，

∴∠PDC＝60°，故③正确；

④∵B（2，2），四边形OABC是矩形，

∴OA＝2，AB＝2，

∵tan∠AOB＝＝，

∴∠AOB＝30°，

当△ODP为等腰三角形时，

Ⅰ、OD＝PD，

∴∠DOP＝∠DPO＝30°，

∴∠ODP＝60°，

∴∠ODC＝60°，

∴OD＝OC＝，

Ⅱ、OP＝OD，

∴∠ODP＝∠OPD＝75°，

∵∠COD＝∠CPD＝90°，

∴∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去；

Ⅲ、OP＝PD，

∴∠POD＝∠PDO＝30°，

∴∠OCP＝150°＞90°故不合题意舍去，

∴当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（，0）．故④正确，

故选：D．

知识点：各地中考

题型：选择题