在平面直角坐标系中,等腰直角的直角顶点C在y轴上,另两个顶点A,B在x轴上,且,抛物线经过A,B,C三点,如图...
问题详情:
在平面直角坐标系中,等腰直角的直角顶点C在y轴上,另两个顶点A,B在x轴上,且,抛物线经过A,B,C三点,如图1所示.
(1)求抛物线所表示的二次函数表达式.
(2)过原点任作直线l交抛物线于M,N两点,如图2所示.
①求面积的最小值.
②已知是抛物线上一定点,问抛物线上是否存在点P,使得点P与点Q关于直线l对称,若存在,求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式;若不存在,请说明理由.
【回答】
(1);(2)①4;②点,或点,
【解析】
(1)设抛物线的解析式为,根据等腰直角三角形的*质得到三点的坐标,代入解析式即可得到*;
(2)①设直线l的解析式为,交点,,联立一次函数与二次函数的解析式,利用一元二次方程根与系数的关系得到,利用面积与的函数,得到面积的最小值;②假设抛物线上存在点,使得点P与点Q关于直线l对称,利用对称得:列方程求解再求点P的坐标及直线l的一次函数表达式即可.
【详解】
解:(1)设抛物线的解析式为,
在等腰中,垂直平分,且,
∴.
∴
,
解得:
∴抛物线的解析式为
(2)①设直线l的解析式为,交点,
由,
可得,
∴,.
∴,
∴.
∴.
∴当时,取最小值4.
∴的最小值是4.
②假设抛物线上存在点,使得点P与点Q关于直线l对称,
∴,即
解得:,,,
∵,,(不合题意,舍去.)
当时,点,线段的中点为.
∴,
.
∴直线l的表达式为:.
当时,点,线段的中点为.
∴,
.
∴直线l的表达式为:
综上:点,或点,.
【点睛】
本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式,一次函数的解析式,二次函数与一次函数的交点问题,一元二次方程根与系数的关系,轴对称的*质,利用因式分解的方法解方程,掌握以上知识是解题的关键.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题
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