如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形ABCD的边AB=4,BC=6.若不改变矩形ABCD的形状和大小,当矩形顶...
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如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形ABCD的边AB=4,BC=6.若不改变矩形ABCD的形状和大小,当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时,矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动.
(1)当∠OAD=30°时,求点C的坐标;
(2)设AD的中点为M,连接OM、MC,当四边形OMCD的面积为时,求OA的长;
(3)当点A移动到某一位置时,点C到点O的距离有最大值,请直接写出最大值,并求此时cos∠OAD的值.
【回答】
(1)点C的坐标为(2,3+2);(2)OA=3;(3)OC的最大值为8,cos∠OAD=.
【分析】
(1)作CE⊥y轴,先*∠CDE=∠OAD=30°得CE=CD=2,DE=,再由∠OAD=30°知OD=AD=3,从而得出点C坐标;
(2)先求出S△DCM=6,结合S四边形OMCD=知S△ODM=,S△OAD=9,设OA=x、OD=y,据此知x2+y2=36,xy=9,得出x2+y2=2xy,即x=y,代入x2+y2=36求得x的值,从而得出*;
(3)由M为AD的中点,知OM=3,CM=5,由OC≤OM+CM=8知当O、M、C三点在同一直线时,OC有最大值8,连接OC,则此时OC与AD的交点为M,ON⊥AD,*△CMD∽△OMN得,据此求得MN=,ON=,AN=AM﹣MN=,再由OA=及cos∠OAD=可得*.
【详解】
(1)如图1,过点C作CE⊥y轴于点E,
∵矩形ABCD中,CD⊥AD,
∴∠CDE+∠ADO=90°,
又∵∠OAD+∠ADO=90°,
∴∠CDE=∠OAD=30°,
∴在Rt△CED中,CE=CD=2,DE==2,
在Rt△OAD中,∠OAD=30°,
∴OD=AD=3,
∴点C的坐标为(2,3+2);
(2)∵M为AD的中点,
∴DM=3,S△DCM=6,
又S四边形OMCD=,
∴S△ODM=,
∴S△OAD=9,
设OA=x、OD=y,则x2+y2=36,xy=9,
∴x2+y2=2xy,即x=y,
将x=y代入x2+y2=36得x2=18,
解得x=3(负值舍去),
∴OA=3;
(3)OC的最大值为8,
如图2,M为AD的中点,
∴OM=3,CM==5,
∴OC≤OM+CM=8,
当O、M、C三点在同一直线时,OC有最大值8,
连接OC,则此时OC与AD的交点为M,过点O作ON⊥AD,垂足为N,
∵∠CDM=∠ONM=90°,∠CMD=∠OMN,
∴△CMD∽△OMN,
∴,即,
解得MN=,ON=,
∴AN=AM﹣MN=,
在Rt△OAN中,OA=,
∴cos∠OAD=.
【点睛】
本题是四边形的综合问题,解题的关键是掌握矩形的*质、勾股定理、相似三角形的判定与*质等知识点.
知识点:特殊的平行四边形
题型:解答题
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