如图,四边形OABC是矩形,OA=4,OC=8,将矩形OABC沿直线AC折叠,使点B落在点D处,AD交OC于...
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如图,四边形OABC是矩形,OA=4,OC=8,将矩形OABC沿直线AC折叠,使点B落在点D处,AD交OC于点E.
(1)求OE的长;
(2)求过O,D,C三点的抛物线的解析式;
(3)若F为过O,D,C三点的抛物线的顶点,一动点P从点A出发,沿*线AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动,当运动时间T(秒)为何值时,直线PF把△FAC分成面积之比为1∶3的两部分.
【回答】
解:(1)∵四边形OABC是矩形,
∴∠CDE=∠AOE=90°,OA=BC=CD.
又∵∠CED=∠OEA,
∴△CDE≌△AOE,
∴OE=DE,
∴OE2+OA2=(AD-DE)2,
即OE2+42=(8-OE)2,
解得OE=3;
(2)∵EC=8-3=5,如解图,过D作DG⊥EC于G,
易得△DGE∽△CDE,
∴=,,
∴DG=,EG=,
∴OG=3+=.
∴D(,),
∵O点为坐标原点,
故可设过O,C,D三点的抛物线的解析式为y=Ax2+Bx,将C(8,0)与D(,)代入y=ax2+bx,得,
,解得,
∴所求抛物线的解析式为y=-x2+x;
第13题解图
(3)∵y=-x2+x=-(x-4)2+,
∴F(4,).
设直线AC的解析式为y=Kx+B(K≠0),将A(0,-4)与C(8,0)代入y=Kx+B,得
,解得
∴直线AC的解析式为y=x-4.
如解图,设直线FP交直线AC于H(M,M-4),过H作HM⊥OA于点M,
∴△AMH∽△AOC,
∴MH∶OC=AH∶AC.
∵S△FAH∶S△FHC=1∶3或3∶1,
∴AH∶HC=1∶3或3∶1,
∴MH∶OC=AH∶AC=1∶4或3∶4,
∴HM=2或6,
即M=2或6,
∴H1(2,-3),H2(6,-1),
∴直线FH1的解析式为y=x-,
令y=-4,x=;
直线FH2的解析式为y=-x+,
令y=-4,x=,
∴当T=或时,直线PF把△FAC分成面积之比为1∶3的两部分.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题
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