如图,先有一张矩形纸片ABCD,AB=4,BC=8,点M,N分别在矩形的边AD,BC上,将矩形纸片沿直线MN折...
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如图,先有一张矩形纸片ABCD,AB=4,BC=8,点M,N分别在矩形的边AD,BC上,将矩形纸片沿直线MN折叠,使点C落在矩形的边AD上,记为点P,点D落在G处,连接PC,交MN于点Q,连接CM.下列结论:
①CQ=CD;
②四边形CMPN是菱形;
③P,A重合时,MN=2;
④△PQM的面积S的取值范围是3≤S≤5.
其中正确的是 (把正确结论的序号都填上).
【回答】
②③
【分析】先判断出四边形CFHE是平行四边形,再根据翻折的*质可得CN=NP,然后根据邻边相等的平行四边形是菱形*,判断出②正确;假设CQ=CD,得Rt△CMQ≌△CMD,进而得∠DCM=∠QCM=∠BCP=30°,这个不一定成立,判断①错误;点P与点A重合时,设BN=x,表示出AN=NC=8﹣x,利用勾股定理列出方程求解得x的值,进而用勾股定理求得MN,判断出③正确;当MN过D点时,求得四边形CMPN的最小面积,进而得S的最小值,当P与A重合时,S的值最大,求得最大值便可.
【解答】解:如图1,
∵PM∥CN,
∴∠PMN=∠MNC,
∵∠MNC=∠PNM,
∴∠PMN=∠PNM,
∴PM=PN,
∵NC=NP,
∴PM=CN,
∵MP∥CN,
∴四边形CNPM是平行四边形,
∵CN=NP,
∴四边形CNPM是菱形,故②正确;
∴CP⊥MN,∠BCP=∠MCP,
∴∠MQC=∠D=90°,
∵CP=CP,
若CQ=CD,则Rt△CMQ≌△CMD,
∴∠DCM=∠QCM=∠BCP=30°,这个不一定成立,
故①错误;
点P与点A重合时,如图2,
设BN=x,则AN=NC=8﹣x,
在Rt△ABN中,AB2+BN2=AN2,
即42+x2=(8﹣x)2,
解得x=3,
∴CN=8﹣3=5,AC=,
∴,
∴,
∴MN=2QN=2.
故③正确;
当MN过点D时,如图3,
此时,CN最短,四边形CMPN的面积最小,则S最小为S=,
当P点与A点重合时,CN最长,四边形CMPN的面积最大,则S最大为S=,
∴4≤S≤5,
故④错误.
故*为:②③.
【点评】此题是四边形综合题,主要考查了折叠问题与菱形的判定与*质、勾股定理的综合应用,熟练掌握菱形的判定定理和*质定理、勾股定理是解本题的关键.
知识点:各地中考
题型:填空题
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