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如图,在矩形ABCD中,AD=2AB.将矩形ABCD对折,得到折痕MN;沿着CM折叠,点D的对应点为E,ME与BC的交点为F;再沿着MP折叠,使得AM与EM重合,折痕为MP,此时点B的对应点为G.下列结论:①△CMP是直角三角形;②点C、E、G不在同一条直线上;③PC=MP;④BP=AB;⑤点F是△CMP外接圆的圆心,其中正确的个数为( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【回答】
B【分析】根据折叠的*质得到∠DMC=∠EMC,∠AMP=∠EMP,于是得到∠PME+∠CME=180°=90°,求得△CMP是直角三角形;故①正确;根据平角的定义得到点C、E、G在同一条直线上,故②错误;设AB=x,则AD=2x,得到DM=AD=x,根据勾股定理得到CM==x,根据*影定理得到CP==x,得到PC=MP,故③错误;求得PB=AB,故④,根据平行线等分线段定理得到CF=PF,求得点F是△CMP外接圆的圆心,故⑤正确.
【解答】解:∵沿着CM折叠,点D的对应点为E,
∴∠DMC=∠EMC,
∵再沿着MP折叠,使得AM与EM重合,折痕为MP,
∴∠AMP=∠EMP,
∵∠AMD=180°,
∴∠PME+∠CME=180°=90°,
∴△CMP是直角三角形;故①正确;
∵沿着CM折叠,点D的对应点为E,
∴∠D=∠MEC=90°,
∵再沿着MP折叠,使得AM与EM重合,折痕为MP,
∴∠MEG=∠A=90°,
∴∠GEC=180°,
∴点C、E、G在同一条直线上,故②错误;
∵AD=2AB,
∴设AB=x,则AD=2x,
∵将矩形ABCD对折,得到折痕MN;
∴DM=AD=x,
∴CM==x,
∵∠PMC=90°,MN⊥PC,
∴CM2=CN•CP,
∴CP==x,
∴PN=CP﹣CN=x,
∴PM==x,
∴==,
∴PC=MP,故③错误;
∵PC=x,
∴PB=2x﹣x=x,
∴=,
∴PB=AB,故④,
∵CD=CE,EG=AB,AB=CD,
∴CE=EG,
∵∠CEM=∠G=90°,
∴FE∥PG,
∴CF=PF,
∵∠PMC=90°,
∴CF=PF=MF,
∴点F是△CMP外接圆的圆心,故⑤正确;
故选:B.
知识点:各地中考
题型:选择题
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