已知函数f(x)=(m+x)lnx在(1,f(1))处的切线与直线y=2x一4平行. (1)求f(x...
问题详情:
已知函数f(x)=(m+x)lnx在(1,f(1))处的切线与直线y=2x一4平行.
(1)求f(x)在区间[e,)上的最小值;
(2)若对任意x(0,1),都有成立,求实数a的取值范围.
【回答】
【考点】导数的综合运用
【试题解析】
(1)因为f(x)=(m+x)lnx,所以f’(x)=, 因为函数f(x)=(m+x)lnx在(1,f(1))处的切线与直线y=2x一4平行, 所以f’(1)=1+m=2,所以m=1. 此时f(x)=(1+x)lnx,f’(x)= 当时,f’(x)>0, 所以f(x)在[e,)上单调递增, 所以 (2)由题知:对任意的x(0,1),都有成立, 即成立,因为x(0,1),所以, 所以当a<0时,,不合题意; 当a>0时,成立。 设h(x)= 恒成立, h’(x)=,令g(x)= , 若a在(0,1)上单调递增, 又h(1)=0,所以h(x)<0. 若a>1, 故存在, 所以对任意的, 所以h(x)在上单调递减,又h(1)=0, 所以,不合题意。 综上,实数a的取值范围是(0,1)
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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